Question

（2013•延慶縣一模）已知函數f（x）=ax³+bx²-2（a≠0）有且僅有兩個不同的零點x₁，x₂，則（　　）

A．當a＜0時，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0

B．當a＜0時，x₁+x₂＞0，x₁x₂＜0

C．當a＞0時，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0

D．當a＞0時，x₁+x₂＞0，x₁x₂＜0

Answer 1

分析：求導數可得x=0，或x=-

2b

3a

時，函數取得極值，要滿足題意需f（-

2b

3a

）=0，可得a，b的關系，當a＞0時，x₁+x₂的正負不確定，不合題意；當a＜0，可得x₁x₂＜0，x₁+x₂＞0，進而可得答案．

解答：解：原函數的導函數為f′（x）=3ax²+2bx=x（3ax+2b），
令f′（x）=0，可解得x=0，或x=-

2b

3a

，
故當x=0，或x=-

2b

3a

時，函數取得極值，又f（0）=-2＜0，
所以要使函數f（x）=ax³+bx²-2（a≠0）有且僅有兩個不同的零點，
則必有f（-

2b

3a

）=a(-

2b

3a

)3+b(-

2b

3a

)2-2=0，解得b3=

27a2

2

，且b＞0，
即函數的一根為x₁=-

2b

3a

，
（1）如下圖，若a＞0，可知x₁=-

2b

3a

＜0，且為函數的極大值點，x=x₂處為函數的極小值點，
此時函數有2個零點：-

2b

3a

，x₂＞0，顯然有x₁x₂＜0，但x₁+x₂的正負不確定，故可排除C，D；
（2）如圖2，若a＜0，必有x₁=-

2b

3a

＞0，此時必有x₁x₂＜0，x₁=-

2b

3a

的對稱點為x=

2b

3a

，
則f（

2b

3a

）=a(

2b

3a

)3+b(

2b

3a

)2-2=

20b3

27a2

-2=

20

27a2

×

27a2

2

-2=8＞0，
則必有x₂＞

2b

3a

，即x₂-

2b

3a

＞0，即x₁+x₂＞0
故選B

點評：本題考查根的存在性及根的個數的判斷，涉及三次函數的圖象以及分類討論的思想，屬中檔題