Question

已知定義在R上的函數f(x)=a-

1

2x+1

是奇函數，其中a為實數．
（1）求a的值；  
（2）判斷函數f（x）在其定義域上的單調性并證明；
（3）當m+n≠0時，證明

f(m)+f(n)

m+n

＞f(0)．

Answer 1

分析：（1）根據f（0）=0，求得a的值．
（2）由（1）可得f（x）的解析式，根據解析式可得它在定義域R上是增函數，再利用函數的單調性的定義進行證明．
（3）由于函數f（x）在R上是增函數，故函數表示的曲線上任意兩點連線的斜率大于零，故當m≠n時，

f(m)-f(n)

m-n

＞0，換元可得

f(m)-f(-n)

m-(-n)

＞0=f（0），化簡可得不等式成立．

解答：解：（1）∵定義在R上的函數f(x)=a-

1

2x+1

是奇函數，
∴f（0）=a-

1

2

=0，∴a=

1

2

．
（2）由（1）可得，f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，它在定義域R上是增函數．
證明：設x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2 x2+1)

，
由題設可得0＜2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，
∴

2x1-2x2

(2x1+1)(2 x2+1)

＜0，故函數f（x）在R上是增函數．
（3）由于函數f（x）在R上是增函數，
故函數表示的曲線上任意兩點連線的斜率大于零，
故當m≠n時，

f(m)-f(n)

m-n

＞0，
換元可得

f(m)-f(-n)

m-(-n)

＞0=f（0），
即

f(m)+f(n)

m+n

＞f(0)．
∴要證的不等式成立．

點評：本題主要考查函數的奇偶性、單調性的判斷和證明，奇函數的性質，屬于中檔題．