Question

定義在（-∞，+∞）上的偶函數f（x）滿足f（x+2）=f（x），當x∈[0，1]時，f（x）=10^x-1，下面關于函數f（x）的判斷：
①當x∈[-1，0]時，f（x）=10^-x-1；
②函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
③對任意x₁，x₂∈（1，2），滿足（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））＜0；
④當x∈[2k，2k+1]，k∈Z時，f（x）=10^x-2k-1．其中正確判斷的個數為（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：x∈[0，1]時的解析式知道，利用偶函數，可先求得x∈[-1，0]時的解析式，又由f（x+2）=f（x）說明f（x）是周期為2的周期函數，則R上的解析式均可求出．可結合圖象求解．
解答：解：由題意可知f（x）的圖象如圖所示：
①當x∈[-1，0]時，-x∈[0，1]，則f（-x）=10^-x-1，因為f（x）為偶函數，所以f（x）=f（-x）=10^-x-1，故①正確；
②正確；③x∈（1，2）時，f（x）為減函數，故③正確；
④當x∈[2k，2k+1]，k∈Z時，x-2k∈[0，1]，所以f（x-2k）=10^x-2k-1，
由f（x+2）=f（x）可知，f（x）是周期為2的周期函數，所以f（x）=f（x-2k）=10^x-2k-1，④正確．
故選D．
點評：本題考查函數性質的綜合應用，函數解析式的求解，綜合性較強．