Question

已知

1

m

+

2

n

=1(m＞0，n＞0)，當mn取得最小值時，直線y=-

2

x+2與曲線

x|x|

m

+

y|y|

n

=1交點個數為

2

．

Answer 1

分析：由均值不等式1=

1

m

+

2

n

≥2

1 m •  1 n

，當且僅當

1

m

=

2

n

時等號成立，所以m=2，n=4．故

x|x|

2

+

y|y|

4

=1．①當x＞0，y＞0，表示

x2

2

+ 

y2

4

=1的橢圓；②當x＞0，y＜0，表示

x2

2

- 

y2

4

=1以x軸為實軸的雙曲線；③當x＜0，y＞0，表示

y2

4

-

x2

2

=1以y軸為實軸的雙曲線；④當x＜0，y＜0，表示-

x2

2

-

y2

4

=1，因為左邊恒≤0所以不可能=右邊，所以此時無解．作出圖象能得到結果．

解答：解：由均值不等式
1=

1

m

+

2

n

≥2

1 m •  1 n

，
當且僅當

1

m

=

2

n

時等號成立，
也就是

1

m

=

2

n

=

1

2

，
所以m=2，n=4．
∵

x|x|

m

+

y|y|

n

=1，
∴

x|x|

2

+

y|y|

4

=1．
①當x＞0，y＞0，
表示

x2

2

+ 

y2

4

=1的橢圓；
②當x＞0，y＜0，
表示

x2

2

- 

y2

4

=1以x軸為實軸的雙曲線；
③當x＜0，y＞0，
表示

y2

4

-

x2

2

=1以y軸為實軸的雙曲線；
④當x＜0，y＜0，
表示-

x2

2

-

y2

4

=1，
因為左邊恒≤0所以不可能=右邊，
所以此時無解．
所以如圖得到圖象，
結合圖象知直線y=-

2

x+2與曲線

x|x|

m

+

y|y|

n

=1交點個數是2個．
故答案為：2．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用，解題時要注意均值定理和分類討論思想、數形結合思想的合理運用．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，常因分類不清易出錯，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．