Question

已知

1

m

+

2

n

=1(m＞0，n＞0)，則當m•n取得最小值時，橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1的離心率為

 

．

Answer 1

分析：先利用基本不等式求出當m•n取得最小值時m和n 的值，從而得到橢圓的標準方程，由方程求得橢圓的離心率．

解答：解：∵已知

1

m

+

2

n

=1(m＞0，n＞0)，則  1≥2

1 m × 2 n

，∴mn≥8，當且僅當 m=2，n=4時，等號成立．
此時，橢圓的方程為

x2

4

+

y2

16

=1，a=4，b=2，c=2

3

，∴e=

c

a

=

3

2

，
故答案為：

3

2

．

點評：本題考查基本不等式的應用，橢圓的簡單性質的應用．