Question

已知

1

m

+

2

n

=1（m＞0，n＞0），當mn取得最小值時，直線y=-

2

x+2與曲線

x|x|

m

+

y|y|

n

=1的交點的個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由基本不等式可得mn的值，由分類討論去掉絕對值可得曲線，作出兩個圖象可得答案．

解答：解：∵1=

1

m

+

2

n

≥2

2 mn

，∴

1

mn

≤

1

8

，mn≥8，
當且僅當

1

m

=

2

n

=

1

2

，即m=2，n=4時，mn取得最小值8，
故曲線方程為

x|x|

2

+

y|y|

4

=1，
當x≥0，y≥0時，方程化為

x2

2

+

y2

4

=1
當x＜0，y＞0時，方程化為-

x2

2

+

y2

4

=1，
當x＞0，y＜0時，方程化為

x2

2

-

y2

4

=1，
當x＜0，y＜0時，無意義，
由圓錐曲線可作出方程

x|x|

2

+

y|y|

4

=1和直線y=-

2

x+2與的圖象，
由圖象可知，交點的個數為2，
故選B

點評：本題考查根的存在性及判斷，涉及基本不等式和圓錐曲線的知識，屬中檔題．