Question

（本小題滿分12分）
函數，其中．
（Ⅰ）試討論函數 的單調性；
（Ⅱ）已知當（其中 是自然對數的底數）時，在 上至少
存在一點，使 成立，求 的取值范圍；
（Ⅲ）求證：當 時，對任意，，有．

Answer 1

（Ⅰ）見解析
（Ⅱ）
（Ⅲ）證明見解析。

（Ⅰ）易知的定義域為．
．
由 得： 或．
∵，∴．
∴（1）當時，則為增函數；
為減函數；
為增函數．
（2）當時，則為增函數；
為減函數；
為增函數．                       5分
（Ⅱ）在上至少存在一點，使成立，等價于當時，．
∵，∴．
由（Ⅰ）知，時，為增函數，時，為減函數．
∴在時，．∴．
檢驗，上式滿足，所以是所求范圍．                   8分
（Ⅲ）當時，函數．構造輔助函數，并求導得．
顯然當時，，為減函數．
∴對任意，都有成立，即．
即．又∵，∴．      12分