Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）若，求的單調性和極值；

（Ⅱ）若函數至少有1個零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上單調遞減，在上單調遞增，極小值為-2，無極大值 （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求導得到，分別得到當時，，當時，，判斷出單調性，從而得到其極值；

（Ⅱ）根據題意得到，令，求導得到，由得，令，由零點存在定理得到存在，使得，由得到的最小值，再對的零點進行分類討論，得到答案.

（Ⅰ）當時，，

∴

當時，，，

∴，

當時，，，

∴

∴在上單調遞減，在上單調遞增

在處取得極小值，極小值為，無極大值

（Ⅱ）∵，

由得

令，

則

由得．

令，當時，，

∴在單調遞增，

∵，，

∴存在，使得

且當時，，即，

當時，，即

∵，，

∴當時，；

當時，，

∴在上單調遞減，在上單調遞增

∴在處取得最小值

∵，

∴，即，

∴，即

∴當時，函數無零點，

當時，∵，

∴函數至少有1個零點，

故的取值范圍是.