Question

（滿分12分）已知點P_n(a_n，b_n)滿足a_n＋1＝a_n·b_n＋1，b_n＋1＝ (n∈N^*)且點P₁的坐標為(1，－1)．(1)求過點P₁，P₂的直線l的方程；
(2)試用數學歸納法證明：對于n∈N^*，點P_n都在(1)中的直線l上．

Answer 1

(1)直線l的方程為2x＋y＝1. (2)見解析。

試題分析：(1)由P₁的坐標為(1，－1)知a₁＝1，b₁＝－1.
∴b₂＝＝.     a₂＝a₁·b₂＝. 
∴點P₂的坐標為(，)
∴直線l的方程為2x＋y＝1. …………….3分
(2)①當n＝1時，2a₁＋b₁＝2×1＋(－1)＝1成立．…………….4分
②假設n＝k(k∈N^*，k≥1)時，2a_k＋b_k＝1成立，…………….6分
則2a_k＋1＋b_k＋1＝2a_k·b_k＋1＋b_k＋1＝ (2a_k＋1)…………….8分
＝＝＝1，
∴當n＝k＋1時，命題也成立．                ……………. 10分
由①②知，對n∈N^*，都有2a_n＋b_n＝1，
即點P_n在直線l上．                      …………….12分
點評：本題將數列問題、直線方程、數學歸納法有機結合在一起，不偏不怪，是一道不錯的題目。