Question

(本小題滿分12分) 已知曲線，從上的點作軸的垂線，交于點，再從點作軸的垂線，交于點，
設.。
求數列的通項公式；
記，數列的前項和為，試比較與的大小；
記，數列的前項和為，試證明：。

Answer 1

 ；<;（3）

試題分析：（1）依題意點的坐標為，，，
；
（2）由（1）知，，由，，，
當時，
 ；．
（3）當時，有：
，
又，
，．
所以對任意的，都有.
點評：若已知遞推公式為的形式求通項公式常用累加法。
注：①若是關于n的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和;
②若是關于n的二次函數，累加后可分組求和;
③是關于n的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和;
④是關于n的分式函數，累加后可裂項求和。