設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,滿足
且
構(gòu)成等比數(shù)列．(1) 證明:
；(2) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3) 證明:對(duì)一切正整數(shù),有
.
（1）證明見解析；（2）
；（3）證明見解析.
解析試題分析：（1）對(duì)于
取n=1，可得到
與
的關(guān)系，即可證得；（2）當(dāng)
時(shí)，有
，可得到的
與
的關(guān)系式，從而可知等差數(shù)列的公差，又由構(gòu)成等比數(shù)列，從而可求出基本量
，即可寫出其通項(xiàng)公式；（3）裂項(xiàng)：
，以下用裂項(xiàng)相消法，即可化簡(jiǎn)題中左式，從而證得不等式.
試題解析：（1）當(dāng)
時(shí)，
，
；
（2）當(dāng)時(shí)，
，；
,
，
當(dāng)時(shí)，
是公差
的等差數(shù)列．
構(gòu)成等比數(shù)列，
，
，解得
,由（1）可知，
，
是首項(xiàng)
,公差的等差數(shù)列．數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（3）
考點(diǎn)：數(shù)列中與
的關(guān)系：
，等差數(shù)列的定義，等比中項(xiàng)，裂項(xiàng)相消求和法，特殊到一般思想，化歸思想.
高中必刷題系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
在等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}中，a1=1，b1=2，bn＞0（n∈N*），且b1，a2，b2成等差數(shù)列，a2，b2，a3+2成等比數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若Sn+an＞m對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求常數(shù)m的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知等差數(shù)列
滿足：
=2，且
成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）記
為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得
若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
在等比數(shù)列{an}中，an＞0（n∈N*），且a1a3=4,a3+1是a2和a4的等差中項(xiàng).
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=an+1+log2an（n=1,2,3,…），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知an + 1 = 2Sn + 2 (n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)在an與an + 1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n + 2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為dn的等差數(shù)列．
①在數(shù)列{dn}中是否存在三項(xiàng)dm，dk，dp (其中m，k，p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)，若不存在，說明理由；
②求證：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知等差數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，
，
，
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若
，求數(shù)列
的前100項(xiàng)和．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
在等差數(shù)列
中，
.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列的前
項(xiàng)和
，求的值.
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,
是公差不為0的等差數(shù)列,
,則
中，
，且
，
，
成等差數(shù)列.
；
，求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
.