Question

【題目】已知，函數(shù)

討論的單調(diào)性；

若是的極值點，且曲線在兩點 處的切線相互平行，這兩條切線在軸上的截距分別為，求的取值范圍

Answer 1

【答案】當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增； .

【解析】

（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，對a分類討論，解不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）由是的極值點可知a=1，利用切線平行可得，同理，，構(gòu)建新函數(shù)即可得到的取值范圍.

（Ⅰ）.

當(dāng)時，在上恒成立.

在上單調(diào)遞減，無單調(diào)遞增區(qū)間；

當(dāng)，且，即時，在上恒成立.

在上單調(diào)遞減，無單調(diào)遞增區(qū)間；

當(dāng)，且，即時，在上，，在上，，

在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）是的極值點，由可知

設(shè)在處的切線方程為

在處的切線方程為

若這兩條切線互相平行，則，

令，則，同理，

【解法一】

設(shè)，

，

在區(qū)間上單調(diào)遞減，

即的取值范圍是

【解法二】

令，其中

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，.

的取值范圍是

【解法三】

設(shè)，則

，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

的取值范圍是.