Question

【題目】已知函數．

（1）求函數在上的單調區間；

（2）用表示中的最大值，為的導函數，設函數，若在上恒成立，求實數的取值范圍；

（3）證明：．

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為;單調遞減區間為；（2）；（3）詳見解析．

【解析】

（1）求導后求出、的解集后即可得解；

（2）轉化條件得在上恒成立，即在上恒成立，令，求導后求得的最大值即可得解；

（3）利用導數證明，進而可證，即可得證.

（1）因為，

所以，

令得，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

所以函數在上的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

（2）由（1）知，

當時，恒成立，故恒成立；

當時，，又因為恒成立，

所以在上恒成立，

所以，即在上恒成立，

令，則，

由，

令得，易得在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，

所以，即，

綜上可得.

（3）證明：設，則，

所以在上單調遞增，所以，即，

所以

，

所以.