Question

【題目】在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側面BB1C1C⊥底面ABC．

（1）若D是BC的中點，求證：AD⊥CC1；

（2）過側面BB1C1C的對角線BC1的平面交側棱于M，若AM=MA1，求證：截面MBC1⊥側面BB1C1C．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析 (2)詳見解析

【解析】

（1）由AB=AC，且D是BC的中點得到AD⊥BC，再由側面BB1C1C⊥底面ABC，結合面面垂直的性質得到AD⊥側面BB1C1C．從而證得答案； （2）由AM=MA1，可想到延長B1A1與BM交于N，連結C1N，由中位線知識結合已知得到A1C1=A1N=A1B1，∴C1N⊥C1B1，然后由面面垂直的性質及判定得答案．

（1）如圖，

∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC，

∵底面ABC⊥平面BB1C1C，

由兩面垂直的性質，∴AD⊥側面BB1C1C．

又CC1面BB1C1C，∴AD⊥CC1；

（2）延長B1A1與BM的延長線交于N，連結C1N，

∵AM=MA1，且MA1∥BB1，∴NA1=A1B1，

∵AB=AC，∴A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1，

∴A1為△B1C1N外接圓的圓心，

∴C1N⊥C1B1，

∵底面NB1C1⊥側面BB1C1C，

由面面垂直的性質，∴C1N⊥側面BB1C1C，

∴截面C1NB⊥側面BB1C1C，∴截面MBC1⊥側面BB1C1C．