Question

【題目】已知點 在橢圓 上，過橢圓C的右焦點F且垂直于橢圓長軸的弦長為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若MN是過橢圓C的右焦點F的動弦（非長軸），點T為橢圓C的左頂點，記直線TM，TN的斜率分別為k1 ， k2 ． 問k1k2是否為定值？若為定值，請求出定值；若不為定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得， ，

解得 ；

∴橢圓的方程為 ；

（2）解：由題意知，T（﹣2，0），F（1，0），設直線MN的方程為x=ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2）；

將方程x=ty+1帶入橢圓方程 并化簡得：

（3t2+4）y2+6ty﹣9=0；

∴ ；

∴

=

=

=

= ；

∴k1k2為定值，定值為 ．

【解析】（1）根據條件便可以得到 ，解出a，b便可得出橢圓C的方程為 ；（2）可設直線MN的方程為x=ty+1，帶入橢圓方程并整理便可得到（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，從而由韋達定理可得到 ，而 ，這樣即可求得 ，即得出k1k2為定值，并得出該定值．