【題目】如圖，四邊形
是直角梯形， 
，又
，直線
與直線
所成的角為
．
（1）求證： 
；
（2）求二面角
的余弦值．
【答案】(1)見解析.（2）
.
【解析】試題分析：方法1：（1）∵
，∴
平面ABC，∴
．5分
（2）取BC的中點N，連MN．∵
，∴
，∴
平面ABC．作
，交AC的延長線于H，連結MH．由三垂線定理得
，∴
為二面角
的平面角．∵直線AM與直線PC所成的角為
，∴在
中， 
．
在
中， 
．
在
中， 
．
在
中， 
．
在
中，∵
，∴
．
故二面角
的余弦值為
．13分
方法2：（1）∵
，∴
平面ABC，∴
．5分
（2）在平面ABC內，過C作BC的垂線，并建立空間直角坐標系如圖所示．設
，則
． 
． 5分
∵
，
且
，∴
，得
，∴
． 8分
設平面MAC的一個法向量為
，則由
得
得
∴
． 10分
平面ABC的一個法向量為
． 
12分
顯然，二面角
為銳二面角，∴二面角
的余弦值為
．13分
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】學校高一年級開設
、
、
、
、
五門選修課，每位同學須彼此獨立地選三課程，其中甲同學必選
課程，不選
課程，另從其余課程中隨機任選兩門課程．乙、丙兩名同學從五門課程中隨機任選三門課程．
（Ⅰ）求甲同學選中
課程且乙同學未選中
課程的概率．
（Ⅱ）用
表示甲、乙、丙選中
課程的人數之和，求
的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】【2018吉林長春高三下學期二模】為了打好脫貧攻堅戰，某貧困縣農科院針對玉米種植情況進行調研，力爭有效的改良玉米品種，為農民提供技術支．現對已選出的一組玉米的莖高進行統計，獲得莖葉圖如下圖（單位：厘米），設莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米，否則為矮莖玉米．
（I）完成列
聯表，并判斷是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏與玉米矮莖有關？
（II）為了改良玉米品種，現采用分層抽樣的方法從抗倒伏的玉米中抽出5株，再從這5株玉米中選取2株進行雜交試驗，選取的植株均為矮莖的概率是多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某縣政府為了引導居民合理用水，決定全面實施階梯水價，階梯水價原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準定價：若用水量不超過12噸時，按4元/噸計算水費；若用水量超過12噸且不超過14噸時，超過12噸部分按6.60元/噸計算水費；若用水量超過14噸時，超過14噸部分按7.80元/噸計算水費．為了了解全市居民月用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了100戶居民的月用水量（單位：噸），將數據按照
，
，…，
分成8組，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖．
（圖1） （圖2）
（Ⅰ）通過頻率分布直方圖，估計該市居民每月的用水量的平均數和中位數（精確到0.01）；
（Ⅱ）求用戶用水費用
（元）關于月用水量
（噸）的函數關系式；
（Ⅲ）如圖2是該縣居民李某2017年1～6月份的月用水費（元）與月份
的散點圖，其擬合的線性回歸方程是
．若李某2017年1～7月份水費總支出為294.6元，試估計李某7月份的用水噸數．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某港口有一個泊位，現統計了某月100艘輪船在該泊位停靠的時間（單位：小時），如果停靠時間不足半小時按半小時計時，超過半小時不足1小時按1小時計時，以此類推，統計結果如表：
停靠時間 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | 5.5 | 6 |
輪船數量 | 12 | 12 | 17 | 20 | 15 | 13 | 8 | 3 |
（Ⅰ）設該月100艘輪船在該泊位的平均停靠時間為
小時，求
的值；
（Ⅱ）假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位停靠
小時，且在一晝夜的時間段中隨機到達，求這兩艘輪船中至少有一艘在停靠該泊位時必須等待的概率．
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