Question

【題目】如圖，將矩形沿折成二面角，其中為的中點.已知，，，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點，連接，，由矩形性質及中位線定理可證明，，即四邊形是平行四邊形，即可由線面平行判斷定理證明平面；

（2）解法一：取的中點，的中點，連接，，，利用線面垂直及面面垂直的性質和判定，可證明即為與平面所成角，結合所給線段關系，即可求解；解法二，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，以垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，根據所給線段關系可求得的坐標，進而求得平面的法向量，即可由線面夾角的空間向量法求解.

（1）證明：取的中點，連接，，如下圖所示：

為矩形，且為的中點，

所以，，

又因為，

所以，，

所以四邊形是平行四邊形，

因此.

又平面，平面，

所以平面.

（2）解法一：取的中點，的中點，連接，，，如下圖所示：

由，所以，

又，，所以平面，

所以，又，

已知與相交，所以平面，

所以平面平面.

又，所以平面，所以，

又，，

所以平面.

所以即為與平面所成角，

又，，所以

所以.

解法二：以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，以垂直于平面的直線為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系：

則，，，，設，

由即

得所以，，，，，

設平面的法向量，由得

取，

設與平面所成角為，

則

.