Question

【題目】已知曲線y＝x3＋x－2在點P0處的切線l1平行于直線4x－y－1＝0，且點P0在第三象限．

(1)求P0的坐標；(2)若直線l⊥l1，且l也過切點P0，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）(－1，－4)；（2）x＋4y＋17＝0.

【解析】試題分析：（1）根據曲線方程求出導函數，因為已知直線4x-y-1=0的斜率為4，根據切線與已知直線平行得到斜率相等都為4，所以令導函數等于4得到關于x的方程，求出方程的解，即為切點P0的橫坐標，代入曲線方程即可求出切點的縱坐標，又因為切點在第3象限，進而寫出滿足題意的切點的坐標；
（2）由直線l1的斜率為4，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1，得到直線l的斜率為，又根據（1）中求得的切點坐標，寫出直線l的方程即可．

試題解析：

(1)證明：由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.

由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.

當x＝1時，y＝0；當x＝－1時，y＝－4.

又∵點P0在第三象限，∴切點P0的坐標為(－1，－4)．

(2)∵直線l⊥l1，l1的斜率為4，∴直線l的斜率.

∵l過切點P0，點P0的坐標為(－1，－4)，

∴直線l的方程為y＋4＝－ (x＋1)，即x＋4y＋17＝0.