Question

【題目】已知函數為其定義域內的奇函數．

（1）求實數的值；

（2）求不等式的解集；

（3）證明： 為無理數．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）利用恒成立即可得結果；（2）利用，考慮函數的定義域即可得結果；（3）利用反證法，設，導出矛盾，即得證.

試題解析：（1）因為為其定義域內奇函數，

所以 ，

即

即

所以

當時，對數無意義，故舍去，

所以

（2）的定義域為

由, 得

又因為的定義域為

所以得解集為

（3）（）

假設為有理數，則其可以寫成最簡分數形式，而且唯一的，

設（其中為兩個互質的正整數）

得 ，即 （*），

因為為兩個互質的正整數，

所以為奇數， 為偶數，顯然奇數不等于偶數，

所以（*）式不成立…

所以假設不成立，

所以為無理數…