Question

【題目】已知函數，，其中.

（1）討論的單調性；

（2）設函數，當時，若，，總有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）求出導函數，然后根據導函數的符號判斷出函數的單調性．（2）由題意可得問題等價于“在上的最大值不小于在上的最大值”．所以分別求出函數在上的最大值和函數在上的最大值，根據題意建立不等式組，解不等式組可得所求結果．

(1)∵，

∴．

①當時，，此時在上單調遞增；

②當時，

若，則單調遞減；若，則單調遞增．

綜上可得，當時，在上單調遞增；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增．

（2）當時，，

∴，

∴當時，單調遞增；當時，單調遞減．

∴當時，．

又在上的最大值為中的較大者．

由題意得“，，總有成立”等價于“在上的最大值不小于在上的最大值”，

∴，即，解得．

∴實數的取值范圍是．