Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足：①函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱；②對?x∈R，f(

3

4

-x)=f(

3

4

+x)成立；③當x∈(-

3

2

，-

3

4

]時，f（x）=log₂（-3x+1），則f（2011）=

 

．

Answer 1

分析：由于函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，故可得f（1+x-1）+f（1-x-1）=0，由②得出f(-x)=f(

3

2

+x)兩者結合得出函數的周期性，再結合③即可求出f（2011）．

解答：解：由于函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，
故可得f（1+x-1）+f（1-x-1）=0，
即f（x）=-f（-x）對任何x都成立，
由②得出f(-x)=f(

3

2

+x)
∴f(

3

2

+x)=-f(x)
∴f（3+x）=f（x），f（x）是周期為3的周期函數，
則f（2011）=f（1）=-f（-1）=-log₂4=-2，
故答案為：-2

點評：本題考查函數的對稱性與周期性的性質，知識性較強．解答的關鍵是由函數的對稱性得出函數的周期性．