Question

設數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*，則數列{a_n}的前n項和可以表示為（　　）

• A、

  n

  i=1

  C

  i-1 n

  3^n-i+1
• B、

  n

  i=1

  （

  C

  i-1 n

  3^n-i+i）
• C、

  n

  i=1

  C

  i n

  3^n-i+1
• D、

  n

  i=1

  （

  C

  i n

  3^n-i+i）

Answer 1

考點：等比關系的確定,數列的求和

專題：等差數列與等比數列,二項式定理

分析：由已知a_n+1=4a_n-3n+1，變形為a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），利用等比數列和等差數列的前n項和公式、二項式定理即可得出．

解答： 解：∵a_n+1=4a_n-3n+1，
∴a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），
∵a₁=2，
∴a₁-1=1，
∴數列{a_n-n}是以1為首項，公比為4的等比數列．
∴an-n=4n-1，an=4n-1+n．
∴Sn=(1+1)+(4+2)+(42+3)+…+(4n-1+n)
=（1+2+3+…+n）+（1+4+4²+…+4^n-1）
=

n(n+1)

2

+

4n-1

3

．
而

1

3

(4n-1)+

1

2

n(n+1)
=

1

3

[(3+1)n-1]+

1

2

n(n+1)
=

1

3

(3n+

C

1 n

3n-1+…+

C

n-2 n

32+

C

n-1 n

3+1-1)+

1

2

n(n+1)
=3n-1+

C

1 n

3n-2+…+

C

n-2 n

3+

C

n-1 n

+（1+2+…+n）
=

n

i=1

(

C

i-1 n

3n-i+i)．
故選：B．

點評：本題考查了等比數列和等差數列的通項公式及其前n項和公式、二項式定理，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．