Question

過△ABC內部一點M任作一條直線EF，AD⊥EF于D，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，都有

AD

+

BE

+

CF

=

0

，則點M是△ABC的（　　）

A．三條高的交點

B．三條中線的交點

C．三邊中垂線的交點

D．三內角平分線的交點

Answer 1

分析：設EF交AB，AC于G，H兩點，因為要使

AD

+

BE

+

CF

=0，只需要

BE

DA

+

CF

DA

=1（*），設

AH

=λ

AC

，

AG

=μ

AB

，
所以（*）化為

1-λ

λ

+

1-μ

μ

=1（**），只要（**）成立，這樣的M就滿足條件．由此入手能夠選出正確答案．

解答：解：設EF交AB，AC于G，H兩點，
因為要使

AD

+

BE

+

CF

=0，
只需要

BE

DA

+

CF

DA

=1（*），
設

AH

=λ

AC

，

AG

=μ

AB

，
所以（*）化為

1-λ

λ

+

1-μ

μ

=1（**），
只要（**）成立，
這樣的M就滿足條件．
因為M在EF上，
所以

AM

=t

AG

+（1-t）

AH

=tλ

AB

+（1-t）μ

AC

，
當M是三條中線的交點，
所以tλ=

1

3

，（1-t）μ=

1

3

，

1

λ

=3t，

1

μ

=3-3t，
容易驗證此時（**）成立，
所以M是三條中線的交點時，可以滿足題目條件．
故選B．

點評：本題考查三角形的五心的應用，解題時要認真審題，注意向量的靈活運用．