Question

過(guò)△ABC內(nèi)部一點(diǎn)M任作一條直線EF，AD⊥EF于D，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，都有，則點(diǎn)M是△ABC的（ ）
A．三條高的交點(diǎn)
B．三條中線的交點(diǎn)
C．三邊中垂線的交點(diǎn)
D．三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)

Answer 1

【答案】分析：設(shè)EF交AB，AC于G，H兩點(diǎn)，因?yàn)橐��?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101231729739313236/SYS201311012317297393132015_DA/0.png">，只需要（*），設(shè)，，
所以（*）化為（**），只要（**）成立，這樣的M就滿(mǎn)足條件．由此入手能夠選出正確答案．
解答：解：設(shè)EF交AB，AC于G，H兩點(diǎn)，
因?yàn)橐��?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101231729739313236/SYS201311012317297393132015_DA/5.png">，
只需要（*），
設(shè)，，
所以（*）化為（**），
只要（**）成立，
這樣的M就滿(mǎn)足條件．
因?yàn)镸在EF上，
所以=t+（1-t）=tλ+（1-t）μ，
當(dāng)M是三條中線的交點(diǎn)，
所以tλ=，（1-t）μ=，，3t，
容易驗(yàn)證此時(shí)（**）成立，
所以M是三條中線的交點(diǎn)時(shí)，可以滿(mǎn)足題目條件．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的五心的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量的靈活運(yùn)用．