Question

【題目】已知點(diǎn)F（1，0），點(diǎn)A是直線l1：x=﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作直線l2 ， l1⊥l2 ， 線段AF的垂直平分線與l2交于點(diǎn)P． （Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)M，N是直線l1上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且△PMN的內(nèi)切圓方程為x2+y2=1，直線PF的斜率為k，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵點(diǎn)F（1，0），點(diǎn)A是直線l1：x=﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作直線l2 ， l1⊥l2 ， 線段AF的垂直平分線與l2交于點(diǎn)P， ∴點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離等于它到直線l1的距離，
∴點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l1：x=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線，
∴曲線C的方程為y2=4x．
（Ⅱ）設(shè)P（x0 ， y0），點(diǎn)M（﹣1，m），點(diǎn)N（﹣1，n），
直線PM的方程為：y﹣m= （x+1），
化簡(jiǎn)，得（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，
∵△PMN的內(nèi)切圓的方程為x2+y2=1，
∴圓心（0，0）到直線PM的距離為1，即 =1，
∴ = ，
由題意得x0＞1，∴上式化簡(jiǎn)，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，
同理，有 ，
∴m，n是關(guān)于t的方程（x0﹣1）t2+2y t﹣（x0+1）=0的兩根，
∴m+n= ，mn= ，
∴|MN|=|m﹣n|= ，
∵ ，|y0|=2 ，
∴|MN|= ，
直線PF的斜率 ，則k=| |= ，
∴ = = ，
∵函數(shù)y=x﹣ 在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴ ，
∴ ，
∴0＜ ＜ ．
∴ 的取值范圍是（0， ）
【解析】（Ⅰ）點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離等于它到直線l1的距離，從而點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l1：x=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出曲線C的方程．（Ⅱ）設(shè)P（x0 ， y0），點(diǎn)M（﹣1，m），點(diǎn)N（﹣1，n），直線PM的方程為（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，△PMN的內(nèi)切圓的方程為x2+y2=1，圓心（0，0）到直線PM的距離為1，由x0＞1，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理， ，由此利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、直線斜率，結(jié)合已知條件能求出 的取值范圍．