Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣m|﹣|x+3m|（m＞0）． （Ⅰ）當m=1時，求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）對于任意實數x，t，不等式f（x）＜|2+t|+|t﹣1|恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ， 當m=1時，由 或x≤﹣3，得到 ，
∴不等式f（x）≥1的解集為 ；
（Ⅱ）不等式f（x）＜|2+t|+|t﹣1|對任意的實數t，x恒成立，
等價于對任意的實數xf（x）＜[|2+t|+|t﹣1|]min恒成立，
即[f（x）]max＜[|2+t|+|t﹣1|]min ，
∵f（x）=|x﹣m|﹣|x+3m|≤|（x﹣m）﹣（x+3m）|=4m，
|2+t|+|t﹣1|≥|（2+t）﹣（t﹣1）|=3，
∴4m＜3又m＞0，所以
【解析】（Ⅰ）將m=1的值帶入，得到關于x的不等式組，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）問題等價于對任意的實數xf（x）＜[|2+t|+|t﹣1|]min恒成立，根據絕對值的性質求出f（x）的最大值以及[|2+t|+|t﹣1|]min ， 求出m的范圍即可．
【考點精析】掌握絕對值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．