Question

【題目】

設函數

（Ⅰ）若是函數的極值點，1和是的兩個不同零點，且

且，求的值；

（Ⅱ）若對任意, 都存在（ 為自然對數的底數），使得

成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）3， （2）詳見解析

【解析】試題分析：求導后利用為極值點，滿足，在根據是的零點，滿足，列方程組解出，把的值代入求導，研究函數的另一個零點所在的區間，求出；由于在上為增函數，只需在有解，令，只需存在使得即可，對求導，再進行分類討論.

試題解析：

（Ⅰ）是函數的極值點，∴.

∵1是函數的零點，得，

由，解得，

∴,，

令， ，

令得，

所以在上單調遞減；在上單調遞增

故函數至多有兩個零點，其中，

因為， , ，

所以，故．

（Ⅱ）令， ，則為關于的一次函數且為增函數，根據題意，對任意，都存在，使得成立，則

在有解，

令，只需存在使得即可，

由于，

令， ，

∴在(1，e)上單調遞增， ，

①當，即時， ，即， 在(1，e)上單調遞增，∴，不符合題意.

② 當，即時，

若，則，所以在(1，e)上恒成立，即恒成立，∴在(1，e)上單調遞減,∴存在，使得，符合題意.

若，則，∴在(1， e)上一定存在實數，使得，

∴在(1， )上恒成立，即恒成立， 在(1，m)上單調遞減,

∴存在，使得，符合題意.

綜上，當時，對任意，都存在，使得成立