Question

（2013•宜賓二模）設

a

、

b

為非零向量，則“

a

⊥

b

”是“函數f(x)=(

a

x+

a

)•(

b

x+

b

)是一次函數”的（　　）

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：由“

a

⊥

b

”可得

a

•

b

=0，進而可得函數部署一次函數；由函數為一次函數可得

a

•

b

=0，且2

a

•

b

≠0，矛盾由充要條件的定義可得．

解答：解：當“

a

⊥

b

”時，

a

•

b

=0，
故f(x)=(

a

x+

a

)•(

b

x+

b

)
=

a

•

b

x2+2

a

•

b

x+

a

•

b

=0，顯然不是一次函數，
而當f(x)=(

a

x+

a

)•(

b

x+

b

)=

a

•

b

x2+2

a

•

b

x+

a

•

b

為一次函數時，
有

a

•

b

=0，且2

a

•

b

≠0，矛盾，不能推出

a

⊥

b

；
故“

a

⊥

b

”是“函數f(x)=(

a

x+

a

)•(

b

x+

b

)是一次函數”的即不充分也不必要條件
故選D

點評：本題考查充要條件的判斷，涉及向量的數量積的運算和函數的性質，屬基礎題．