Question

設函數f(x)＝(x＞0)，數列{a_n}滿足a₁＝1，a_n＝f (n∈N^*，且n≥2)．
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)設T_n＝a₁a₂－a₂a₃＋a₃a₄－a₄a₅＋…＋(－1)^n－1·a_na_n＋1，若T_n≥tn²對n∈N^*恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

（1）a_n＝（2）

(1)因為a_n＝f＝＝a_n－1＋ (n∈N^*，且n≥2)，
所以a_n－a_n－1＝.因為a₁＝1，
所以數列{a_n}是以1為首項，公差為的等差數列．
所以a_n＝.
(2)①當n＝2m，m∈N^*時，
T_n＝T_2m＝a₁a₂－a₂a₃＋a₃a₄－a₄a₅＋…＋(－1)^2m－1a_2ma_2m＋1
＝a₂(a₁－a₃)＋a₄(a₃－a₅)＋…＋a_2m(a_2m－1－a_2m＋1)
＝－ (a₂＋a₄＋…＋a_2m)＝－××m
＝－(8m²＋12m)＝－(2n²＋6n)．
②當n＝2m－1，m∈N^*時，
T_n＝T_2m－1＝T_2m－(－1)^2m－1a_2ma_2m＋1＝－(8m²＋12m)＋(16m²＋16m＋3)
＝(8m²＋4m＋3)＝(2n²＋6n＋7)．
所以T_n＝要使T_n≥tn²對n∈N^*恒成立，只要使－ (2n²＋6n)≥tn²，(n為正偶數)恒成立．
只要使－≥t，對n∈N^*恒成立，故實數t的取值范圍為