Question

已知正項數(shù)列的前項和為，是與的等比中項.
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）若，且，求數(shù)列的通項公式；
（3）在（2）的條件下，若，求數(shù)列的前項和.

Answer 1

(1)詳見解析；(2)；(3).

解析試題分析：（1）利用關系找出數(shù)列的遞推關系，可證明數(shù)列為等差數(shù)列；(2)由(1)可求出得，由，可變形得出為等比數(shù)列，進一步求出其通項公式；(3)根據(jù)數(shù)列的結構特點(等差乘等比型)可用錯位相減法求和.證明數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，應緊扣定義，通過對所給條件變形，得到遞推關系，而等差乘等比型數(shù)列的求和最常用的就是錯位相減法，使用這個方法在計算上要有耐心和細心，注意各項的符號，防止出錯.
試題解析：（1）即          1分
當時，，∴                    2分
當時，
∴               3分
即      4分
∵  ∴
∴數(shù)列是等差數(shù)列                          5分
（2）由得，而，          7分
∴數(shù)列是以2為公比，4為首項的等比數(shù)列
∴
∴                                       9分
（3）                               10分
∴  ①
兩邊同乘以得 ②
①②得
 
              14分
考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列、錯位相減法.