Question

【題目】（本小題滿分為16分）為了保護環境，發展低碳經濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，新上了把二氧化碳處理轉化為一種可利用的化工產品的項目，經測算，該項目月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數關系可近似地表示為：

，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為200元，若該項目不獲利，國家將給予補償．

（1）當x∈[200,300]時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損？

（2）該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

Answer 1

【答案】（1）不會獲利，至少補貼5 000元（2）400

【解析】

試題分析：（1）解決實際問題關鍵為讀懂題意：能否獲利，決定于利潤是否為正，故列出利潤S函數關系式S＝200x－＝－x2＋400x－80 000＝－ （x－400）2，當x∈[200,300]時，S<0，因此該單位不會獲利，補貼的標準為S取得最大值-5 000，而不是最小值（2）先列出每噸的平均處理成本的函數關系式，為一個分段函數，需分段求最值，最后比較兩段最小值的較小值為所求.

試題解析：（1）當x∈[200,300]時，設該項目獲利為S，

則S＝200x－＝－x2＋400x－80 000＝－ （x－400）2，

所以當x∈[200,300]時，S<0，因此該單位不會獲利.

當x＝300時，S取得最大值-5 000，

所以國家每月至少補貼5 000元才能使該項目不虧損.

（2）由題意可知二氧化碳的每噸處理成本為

①當x∈[120,144）時，＝x2－80x＋5 040＝ （x－120）2＋240，

所以當x＝120時，取得最小值240.

②當x∈[144,500]時，＝x＋－200≥2－200＝200，

當且僅當x＝，即x＝400時，取得最小值200.因為200<240，

答：當每月的處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低.