Question

如圖，直三棱柱中，，，D是AC的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求幾何體的體積.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析; （Ⅱ）．

試題分析：（Ⅰ）利用線線平行證明線面平行，抓住直線PD∥B₁A達(dá)到證明AB₁∥平面BC₁D；（Ⅱ）采用體積分割技巧，將所求的幾何體轉(zhuǎn)化為直三棱柱的體積簡(jiǎn)單兩個(gè)三棱錐的體積.
試題解析：（Ⅰ）連接B₁C交BC₁于點(diǎn)P，連接PD．
由于BB₁C₁C是平行四邊形，所以P為為B₁C的中點(diǎn)
因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以直線PD∥B₁A，
又PDÌ平面B₁CD，B₁AË平面BC₁D，
所以AB₁∥平面BC₁D．                                       6分

（Ⅱ）直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的體積V₁＝×2×2×2＝4．
三棱錐C₁－BDC的體積V₂與三棱錐A₁－BDA的體積V₃相等，
V₂＝V₃＝×××2×2×2＝．
所以幾何體BDA₁B₁C₁的體積V＝V₁－V₂－V₃＝．                  12分