Question

某開發商用9000萬元在市區購買一塊土地建一幢寫字樓，規劃要求寫字樓每層建筑面積為2000平方米．已知該寫字樓第一層的建筑費用為每平方米4000元，從第二層開始，每一層的建筑費用比其下面一層每平方米增加100元．
(1)若該寫字樓共x層，總開發費用為y萬元，求函數y＝f(x)的表達式；(總開發費用＝總建筑費用＋購地費用)
(2)要使整幢寫字樓每平方米的平均開發費用最低，該寫字樓應建為多少層？

Answer 1

（1）；（2）30.

解析試題分析：（1）經審題，先算出第一層樓的建筑費用，由條件“從第二層開始，每一層的建筑費用比其下面一層每平方米增加100元.”可知，各樓層的建筑費用成等差數列，首項為第一層的建筑費用，公差為（萬元），再根據等差數列前項和公式可得出總開發費用的函數的表達式；（2）由（1）知每平方米的平均開發費用為元，構造函數，并由基本不等式求出函數的最小值，注意自變量是正整數.
試題解析：(1)由已知，寫字樓最下面一層的總建筑費用為：
（元）（萬元），
從第二層開始，每層的建筑總費用比其下面一層多：
（元）（萬元），
寫字樓從下到上各層的總建筑費用構成以800為首項，20為公差的等差數列，
所以函數表達式為：
.    6分
(2)由(1)知寫字樓每平方米平均開發費用為：

(元)．       10分
當且僅當時，即時等號成立.
答：該寫字樓建為30層時，每平方米平均開發費用最低．       12分
考點：1.函數建模；2.基本不等式.