Question

已知拋物線x²=8y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且

AF

=λ

FB

（λ＞0），
過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M．
（1）證明線段FM被x軸平分；
（2）計算

FM

•

AB

的值；
（3）求證：

AM

⊥

BM

．

Answer 1

分析：（1）設A(x1，

x 2 1

8

)，B(x2，

x 2 2

8

)，由曲線8y=x²上任意一點斜率為y'=

x

4

，由已知，A，B，F三點共線，設直線AB的方程為：y=kx+2與拋物線方程x²=8y聯立消y，從而得解；
（2）先求得

FM

和

AB

，進而可求得

FM

•

AB

的結果為0，
（3）先求得∵

AM

=(

x2-x1

2

，-2-

x 2 1

8

)，∵

BM

=(

x1-x2

2

，-2-

x 2 2

8

)，從而可解．

解答：解：（1）設A(x1，

x 2 1

8

)，B(x2，

x 2 2

8

)，由曲線8y=x²上任意一點斜率為y'=

x

4

，
直線AM的方程為：y-

x 2 1

8

=

x1

4

(x-x1)
直線BM的方程為：y-

x 2 2

8

=

x2

4

(x-x2)                   
解方程組得x=

x1+x2

2

，y=

x1x2

8

  即M(

x1+x2

2

，

x1x2

8

)
由已知，A，B，F三點共線，設直線AB的方程為：y=kx+2
與拋物線方程x²=8y聯立消y可得：x²-8kx-16=0，∴x₁+x₂=8k，x₁x₂=-16
所以M點的縱坐標為-2，，所以線段FM中點的縱坐標為0
即線段FM被x軸平分．                                   
（2）

FM

=(4k，-4)，

AB

=(x2-x1，

x 2 2 -  x 2 1

8

)，
∴

FM

•

AB

=4k(x2-x1)-

x 2 2 - x 1 2

2

=(x2-x1)(4k-

x   2 + x   1

2

)
由（1）x₁+x₂=8k，代入得

FM

•

AB

=0
（3）∵

AM

=(

x2-x1

2

，-2-

x 2 1

8

)，∵

BM

=(

x1-x2

2

，-2-

x 2 2

8

)，
∴

AM

•

BM

=

x1x2

2

+4+

x 2 1 x 2 2

64

=-8+4+4=0
∴

AM

⊥

BM

點評：本題主要考查了拋物線的應用．拋物線與直線的關系和拋物線的性質等都是近幾年高考的熱點，故應重點掌握．