Question

已知拋物線x²=8y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且（λ＞0），
過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M．
（1）證明線段FM被x軸平分；
（2）計算的值；
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）設，，由曲線8y=x²上任意一點斜率為y'=，由已知，A，B，F三點共線，設直線AB的方程為：y=kx+2與拋物線方程x²=8y聯立消y，從而得解；
（2）先求得和，進而可求得 的結果為0，
（3）先求得∵，∵，從而可解．
解答：解：（1）設，，由曲線8y=x²上任意一點斜率為y'=，
直線AM的方程為：
直線BM的方程為：                   
解方程組得  即
由已知，A，B，F三點共線，設直線AB的方程為：y=kx+2
與拋物線方程x²=8y聯立消y可得：x²-8kx-16=0，∴x₁+x₂=8k，x₁x₂=-16
所以M點的縱坐標為-2，，所以線段FM中點的縱坐標為0
即線段FM被x軸平分．                                   
（2），
∴
由（1）x₁+x₂=8k，代入得
（3）∵，∵，
∴
∴
點評：本題主要考查了拋物線的應用．拋物線與直線的關系和拋物線的性質等都是近幾年高考的熱點，故應重點掌握．