Question

（2009•寧波模擬）已知拋物線x²=8y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且

AF

=λ

FB

(λ＞0)，過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M
（1）證明線段FM被x軸平分；       
（2）計算

FM

•

AB

的值；
（3）求證|FM|²=|FA|•|FB|．

Answer 1

分析：（1）設A(x1，

x 2 1

8

)，B(x2，

x 2 2

8

)，由導數的幾何意義可求直線AM的方程為：y-

x 2 1

8

=

x1

4

(x-x1)，直線BM的方程為：y-

x 2 2

8

=

x2

4

(x-x2)，解方程可求M，由已知A，B，F三點共線，設直線AB的方程為：y=kx+2，聯立直線與拋物線方程，根據方程的根與系數關系可求線段FM中點的縱坐標O，可證
（2）由

FM

=(4k，-4)，

AB

=(x2-x1，

x 2 2 - x 2 1

8

)，利用向量的數量積，結合方程的根與系數的關系可求
（3）由向量的數量積的性質可知

AM

⊥

BM

，即AM⊥MB，而 MF⊥AB，在直角△MAB中，利用射影定理可證

解答：證明：（1）設A(x1，

x 2 1

8

)，B(x2，

x 2 2

8

)，由y=

x2

8

得y′=

x

4

直線AM的方程為：y-

x 2 1

8

=

x1

4

(x-x1)
直線BM的方程為：y-

x 2 2

8

=

x2

4

(x-x2)
解方程組得x=

x1+x2

2

，y=

x1x2

8

即M（

x1+x2

2

，

x1x2

8

）（3分） 
由已知

AF

=λ

FB

(λ＞0)可得A，A，B，F三點共線，設直線AB的方程為：y=kx+2
與拋物線方程x²=8y聯立消y可得：x²-8kx-16=0
∴x₁+x₂=8k，x₁x₂=-16（5分）
∴

x1x2

8

=-2即M點的縱坐標為-2，
∵F（0，2）
所以線段FM中點的縱坐標O
即線段FM被x軸平分．                 （6分）
解（2）∵F（0，2），M（4k，-2），A(x1，

x 2 1

8

)，B(x2，

x 2 2

8

)，
∴

FM

=(4k，-4)，

AB

=(x2-x1，

x 2 2 - x 2 1

8

)
∴

FM

•

AB

=4k(x2-x1)-

(x2-x1)(x2+x1)

2

=(x2-x1)(4k-

x1+x2

2

)=0   （9分）
證明：(3)∵

AM

=(

x2-x1

2

，-2-

x 2 1

8

)  

BM

=(

x1-x2

2

，-2-

x 2 2

8

)
∵

AM

•

BM

=-

(x1-x2)2

4

+(2+

x 2 1

8

)(2+

x 2 2

8

)=

x1x2

2

+4+

x 2 1 x 2 2

64

=-8+4+4=0（13分）
∴

AM

⊥

BM

，而 MF⊥AB所以在直角△MAB中，
由影射定理即得|FM|²=|FA|•|FB|（15分）

點評：本題主要考查了直線與直線與拋物線的相交關系的應用，向量數量積的坐標表示的應用，直角三角形的射影定理的應用，屬于知識的綜合應用．