Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線向左平移2個單位，再將得到的曲線上的每一個點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的，得到曲線，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的參數(shù)方程；

（2）直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，求曲線上到直線的距離最短的點的直角坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）的參數(shù)方程為(為參數(shù)).（2）

【解析】

（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求得曲線的直角坐標(biāo)方程，再利用坐標(biāo)變換求得的普通方程，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程；

（2）把直線的參數(shù)方程化為普通方程，設(shè)曲線上點為，利用點到直線的距離公式弦長點P到的距離，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

（1）由，可得，

又由，，代入整理得曲線的普通方程為，

設(shè)曲線上的點為，變換后的點為，由題可知坐標(biāo)變換為，

將代入曲線的普通方程，整理得曲線的普通方程為.

所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).

（2）直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，

可得直線的直角坐標(biāo)方程為，

設(shè)曲線上的點為，，

則點到直線的距離為，

其中，，

當(dāng)時，，

此時，，

即此時點的直角坐標(biāo)為，

所以曲線上到直線的距離最短的點的直角坐標(biāo)為.