Question

【題目】有一智能機器人在平面上行進中始終保持與點F（1，0）的距離和到直線x=﹣1的距離相等，若機器人接觸不到過點P（﹣1，0）且斜率為k的直線，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：由題意可知機器人的軌跡為一拋物線，其軌跡方程為y2=4x，
過點P（﹣1，0）且斜率為k的直線方程為y=k（x+1），
由題意知直線與拋物線無交點，即當直線位于圖中陰影部分時，機器人是接觸不到的；
聯立消去y，得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，則△=（2k2﹣4）2﹣4k4＜0，
所以k2＞1，得k＞1或k＜﹣1．
【解析】由拋物線的定義，求出機器人的軌跡方程，過點P（﹣1，0）且斜率為k的直線方程為y=k（x+1），代入y2=4x，利用判別式，即可求出k的取值范圍．