Question

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，已知，頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影為的外接圓圓心.

（1）證明：平面平面ABC；

（2）若點(diǎn)M在棱PA上，，且二面角P-BC-M的余弦值為，試求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，易知點(diǎn)為的外接圓圓心，從而平面，即可證明平面平面ABC；

（2）以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 求出平面與平面的法向量，代入公式即可建立的方程，解之即可.

（1）證明：如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，

由題意，得，則為直角三角形，

點(diǎn)為的外接圓圓心．

又點(diǎn)在平面上的射影為的外接圓圓心，

所以平面，

又平面，所以平面平面．

（2）解：由（1）可知平面，

所以，，，

于是以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

設(shè)，

，，

設(shè)平面的法向量為，

則得

令，得，，

即．

設(shè)平面的法向量為，

由得

令，得，，即

解得即M為PA的中點(diǎn)．