Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，A1B⊥AC1，設O為AC1與A1C的交點，點P為BC的中點.求證：

（1）OP∥平面ABB1A1；

（2）平面ACC1⊥平面OCP.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）根據平面ACC1A1是平行四邊形，則O為A1C的中點，又P為BC的中點，根據三角形中位線得到OP∥A1B，再利用線面平行的判定定理證明.

（2）根據AA1＝AC，得到平面ACC1A1是菱形，從而AC1⊥OC，再由A1B⊥AC1，OP∥A1B，得到AC1⊥OP，由線面垂直的判定定理得到AC1⊥平面OCP，然后用面面垂直的判定定理證明.

（1）∵在三棱柱中，平面ACC1A1是平行四邊形，

∴O為A1C的中點，又∵P為BC的中點，

∴OP∥A1B，

∵A1B平面ABB1A1，OP平面ABB1A1，

∴OP∥平面ABB1A1，

（2）∵平面ACC1A1是平行四邊形，且AA1＝AC，

∴平面ACC1A1是菱形，

∴AC1⊥A1C，即AC1⊥OC，

∵A1B⊥AC1，且OP∥A1B，

∴AC1⊥OP，又AC1⊥OC，OPOC＝O，

∴AC1⊥平面OCP，

∵AC1平面ACC1，

∴平面ACC1⊥平面OCP.