Question

【題目】已知函數f（x）=ax+x2﹣xlna，對x1 ， x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立，則a的取值范圍

Answer 1

【答案】a≥e
【解析】f′（x）=axlna+2x﹣lna=（ax﹣1）lna+2x，
當a＞1時，x∈[0，1]時，ax≥1，lna＞0，2x≥0，
此時f′（x）≥0；
f（x）在[0，1]上單調遞增，
f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=a+1﹣lna，
而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min=a﹣lna，
由題意得，a﹣lna≤a﹣1，解得a≥e，
故答案為：a≥e．
對x1 ， x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立等價于|f（x1）﹣f（x2）|max≤a﹣1，而|f（x1）﹣f（x2）|max=f（x）max﹣f（x）min ， 利用導數可判斷函數的單調性，由單調性可求得函數的最值，解不等式即可．