Question

【題目】圓：（）過點，離心率為，其左、右焦點分別為，，且過焦點的直線交橢圓于，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點的坐標為，設直線與直線的斜率分別為，試證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）由橢圓過點以及離心率為，結合，列方程組求解，即可得橢圓方程；

（Ⅱ）方法一：先考慮直線斜率不存在的情況，再考慮斜率存在的情況，對于斜率存在的情況，設直線：，與橢圓交點，，聯立直線與橢圓的方程，消去并整理，利用判別式及韋達定理，從而可表示出，然后化簡求解即可；

方法二：先考慮直線斜率為0的情況，再考慮直線斜率不為0時，對于斜率不為0的情況，設直線，后續過程同方法一.

（Ⅰ）橢圓：（）過點，

.①

又橢圓離心率為，

，

.②

聯立①②得，解得，

橢圓的方程為.

（Ⅱ）方法一：

當直線斜率不存在時，

則，

；

當直線斜率存在時，

設直線：，與橢圓交點，.

聯立，

消去并整理得.

由于，

，，

，

，

.

綜上所述，.

方法二：

當直線斜率為0時，

，則；

當直線斜率不為0時，

設直線： 設與橢圓交點，，

聯立，

消去并整理得.

由于，

，，

.

，

綜上所述，.