Question

（2012•廣東）設0＜a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x²-3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（1）求集合D（用區間表示）
（2）求函數f（x）=2x³-3（1+a）x²+6ax在D內的極值點．

Answer 1

分析：（1）根據題意先求不等式2x²-3（1+a）x+6a＞0的解集，判別式△=9（1+a）²-48a=9a²-30a+9=3（3a-1）（a-3），通過討論△＞0，△=0，△＜0分別進行求解
（2）對函數f（x）求導可得f'（x）=6x²-6（1+a）x+6a=6（x-a）（x-1），由f'（x）=0，可得x=a或x=1，結合（1）中的a的范圍的討論可分別求D，然后由導數的符號判定函數f（x）的單調性，進而可求極值

解答：解：（1）令g（x）=2x²-3（1+a）x+6a△=9（1+a）²-48a=9a²-30a+9=3（3a-1）（a-3）
①當0＜a≤

1

3

時，△≥0，
方程g（x）=0的兩個根分別為x1=

3a+3- 9a2-30a+9

4

，x2=

3a+3+ 9a2-30a+9

4

所以g（x）＞0的解集為(-∞，

3a+3- 9a2-30a+9

4

)∪(

3a+3+ 9a2-30a+9

4

，+∞)
因為x₁，x₂＞0，所以D=A∩B=(0，

3a+3- 9a2-30a+9

4

)∪(

3a+3+ 9a2-30a+9

4

，+∞)
②當

1

3

＜a＜1時，△＜0，則g（x）＞0恒成立，所以D=A∩B=（0，+∞）
綜上所述，當0＜a≤

1

3

時，D=(0，

3a+3- 9a2-30a+9

4

)∪(

3a+3+ 9a2-30a+9

4

，+∞)；
當

1

3

＜a＜1時，D=（0，+∞）
（2）f'（x）=6x²-6（1+a）x+6a=6（x-a）（x-1），
令f'（x）=0，得x=a或x=1
①當0＜a≤

1

3

時，由（1）知D=（0，x₁）∪（x₂，+∞）
因為g（a）=2a²-3（1+a）a+6a=a（3-a）＞0，g（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1≤0
所以0＜a＜x₁＜1≤x₂，
所以f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，a）	a	（a，x1）	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	+
f（x）	↗	極大值	↘	↗

所以f（x）的極大值點為x=a，沒有極小值點
②當

1

3

＜a＜1時，由（1）知D=（0，+∞）
所以f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以f（x）的極大值點為x=a，極小值點為x=1
綜上所述，當0＜a≤

1

3

時，f（x）有一個極大值點x=a，沒有極小值點；
當

1

3

＜a＜1時，f（x）有一個極大值點x=a，一個極小值點x=1．

點評：本題主要考查了一元二次不等式與二次不等式關系的相互轉化，體現了分類討論思想 的應用，函數的導數與函數的單調性、函數的極值的關系的應用．