Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在點處的切線方程是，求函數在上的值域；

（2）當時，記函數，若函數有三個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）因為，

所以，所以，

所以，即.

，，，

所以在上的值域為.

（2）（i）當時，，由，得，此時函數有三個零點，符合題意.

（ii）當時，.由，得.當時，；當時，.若函數有三個零點，則需滿足且，解得.

（iii）當時，.由，得，.

①當，即時，因為，此時函數至多有一個零點，不符合題意；

②當，即時，因為，此時函數至多有兩個零點，不符合題意；

③當，即時，

若，函數至多有兩個零點，不符題意；

若，得，因為，所以，此時函數有三個零點，符合題意；

若，得，由，記，則，所以，此時函數有四個零點，不符合題意.

綜上所述：滿足條件的實數.