Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，以橢圓長、短軸四個端點為頂點為四邊形的面積為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為、，當動點在定直線上運動時，直線分別交橢圓于兩點、，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ） 離心率為，以橢圓長、短軸四個端點為頂點為四邊形的面積為，結合,列方程組求得 的值，即可求出橢圓的方程；（Ⅱ）點，直線的方程代入橢圓方程，得，利用韋達定理解出點坐標，同理可求得 點的坐標，利用三角形面積公式將四邊形面積表示為 的函數，利用換元法結合函數單調性求解即可.

試題解析：（Ⅰ）由題設知， ，

又，解得，

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）由于對稱性，可令點，其中.

將直線的方程代入橢圓方程，得，

由， 得，則.

再將直線的方程代入橢圓方程，得，

由， 得，則.

故四邊形的面積為 .

由于，且在上單調遞增，故，

從而，有.

當且僅當，即，也就是點的坐標為時，四邊形的面積取最大值6.

注:本題也可先證明”動直線恒過橢圓的右焦點”,再將直線的方程 (這里)代入橢圓方程,整理得,然后給出面積表達式 ,令,

則,當且僅當即時, .