Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數．
(1)當0≤x≤200時，求函數v(x)的表達式；
(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時）．

Answer 1

（1）；（2）當車流密度為100輛/千米時 ，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．

解析試題分析：(1)當0≤x≤20時，速度v(x)是一個常數60；當0≤x≤20時，設v(x)＝ax＋b.
當x =20時，v=60；當x=200時，v=0，代入v(x)＝ax＋b得：20a＋b＝60，200a＋b＝0.
解這個方程組便可得a、b的值，從而得函數v(x)的表達式.
(2)由(1)可得f(x)＝x·v(x)的解析式，該函數是一個分段函數，所以分別求出每一段的最大值，然后比較它們的大小，取大者即車流量的最大值．
試題解析：(1)由題意：當0≤x≤20時，v(x)＝60；當20≤x≤200時，設v(x)＝ax＋b，
再由已知條件得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－，b＝.
故函數v(x)的表達式為
(2)依題意并由(1)可得：
.
當0≤x≤20時，f(x)為增函數，故當x＝20時，其最大值為60×20＝1200；
當20≤x≤200時，≤，
當且僅當x＝200－x，即x＝100時，等號成立．
所以，當x＝100時，f(x)在區間[20,200]上取得最大值.
綜上，當x＝100時，f(x)在區間[0,200]上取得最大值≈3333，
即當車流密度為100輛/千米時 ，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．
考點：1、函數的應用；2、分段函數；3、函數的最值；4、重要不等式.