Question

已知函數,其中為大于零的常數,,函數的圖像與坐標軸交點處的切線為,函數的圖像與直線交點處的切線為,且.
(I)若在閉區間上存在使不等式成立,求實數的取值范圍;
(II)對于函數和公共定義域內的任意實數,我們把的值稱為兩函數在處的偏差.求證:函數和在其公共定義域內的所有偏差都大于2.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）利用參數分離法將不等式問題轉化為，等價轉化為處理，于是問題的核心就是求函數，利用導數求解，但同時需要注意題中的隱含條件將的值確定下來；
（Ⅱ）先確定函數與函數的解析式，然后引入函數，通過證明，進而得到，得到，于是就說明原結論成立.
試題解析：解（Ⅰ）函數的圖象與坐標軸的交點為，
又  
函數的圖象與直線的交點為，
又 
由題意可知，
又，所以              3分
不等式可化為，即
令，則，

又時，，，
故，在上是減函數
即在上是減函數
因此，在對任意的，不等式成立，
只需
所以實數的取值范圍是             8分
（Ⅱ）證明：和的公共定義域為，由（Ⅰ）可知，

令，則，
在上是增函數
故，即            ①
令，則，
當時，；當時，，
有最大值，因此    ②
由①②得，即
又由①得，由②得

故函數和在其公共定義域的所有偏差都大于2     &nb