Question

（2012•奉賢區一模）將兩個頂點在拋物線y²=2px（p＞0）上，另一個頂點（2p，0），這樣的正三角形有（　　）

A．0個

B．2個

C．4個

D．1個

Answer 1

分析：根據題意和拋物線以及正三角形的對稱性，可推斷出兩個邊的斜率，進而表示出這兩條直線，每條直線與拋物線均有兩個交點，焦點兩側的兩交點連接，分別構成一個等邊三角形，可知當等邊三角形關于x軸軸對稱時，有兩個．

解答：解：y²=2px（P＞0）
等邊三角形的一個頂點位于（2p，0），另外兩個頂點在拋物線上，
則當等邊三角形關于x軸軸對稱時
兩個邊的斜率k=±tan30°=±

3

3

，其方程為：y=±

3

3

（x-2p），
每條直線與拋物線均有兩個交點，焦點兩側的兩交點連接，分別構成一個等邊三角形，這樣的正三角形有2個，圖中黑色的兩個．
兩個頂點同時在拋物線上方如圖中藍色，或同時在下方各一個如圖中綠色，
故選C．

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質和數形結合思想，主要是利用拋物線和正三角形的對稱性．