Question

【題目】已知函數，其中常數

（1）當時，討論的單調性

（2）當時，是否存在整數使得關于的不等式在區間內有解？若存在，求出整數的最小值；若不存在，請說明理由.

參考數據：，，，

Answer 1

【答案】(1) f(x)在(0,1)↑,(1,+∞)↓(2) 1

【解析】

分析：(1)求導 ，設，討論其值域，可得的單調性；

(2)當 時,設， ， 在 ,且

可知在(0,)內,唯一x0∈(,),使得lnx0=x02

并且F(x)在(0,x0)↓,(x0,e)↑,(e,+∞)↓當x∈(0,e)時,F(x)min =e3(xx0)

因∈(0,e),使2m≥F(x)成立,故需2m≥F(x)min=e3(xx0)

由此可求m的最小整數值.

詳解：

解：(1) 求導，設 明顯g(x)在(0,+∞)↓,且g(1)=0

故f(x)在(0,1)↑,(1,+∞)↓

當 時,設， ， 在 ,且

注意F′()=3<0,F′()=e3(1ln2e2)≈0.1e3>0

故在(0,)內,唯一x0∈(,),使得lnx0=x02

并且F(x)在(0,x0)↓,(x0,e)↑,(e,+∞)↓

當x∈(0,e)時,F(x)min =F(x0)=e3(x0lnx0x+x0)=e3(xx0)

因∈(0,e),使2m≥F(x)成立,故需2m≥F(x)min=e3(xx0)

當x0∈(,)時,F(x)min=e3(xx0)∈(,e)≈(3.32,2.51)

因2m為偶數,故需2m≥2m≥1,即m的最小整數值為1