Question

已知函數y=2cos（ωx+θ）（x∈R，ω＞0，0≤θ≤

π

2

）的圖象與y軸相交于點M（0，

3

），且該函數的最小正周期為π．
（1）求θ和ω的值；
（2）已知點A（

π

2

，0），點P是該函數圖象上一點，點Q（x₀，y₀）是PA的中點，當y₀=

3

2

，x₀∈[

π

2

，π]時，求x₀的值．

Answer 1

分析：（1）將M坐標代入已知函數，計算可得得cosθ，由θ范圍可得其值，由ω=

2π

T

結合已知可得ω值；
（2）由已知可得點P的坐標為（2x₀-

π

2

，

3

）．代入y=2cos（2x+

π

6

）結合x₀∈[

π

2

，π]和三角函數值得運算可得．

解答：解：（1）將x=0，y=

3

代入函數y=2cos（ωx+θ）得cosθ=

3

2

，
∵0≤θ≤

π

2

，∴θ=

π

6

．
由已知周期T=π，且ω＞0，
∴ω=

2π

T

=

2π

π

=2
（2）∵點A（

π

2

，0），Q（x₀，y₀）是PA的中點，y₀=

3

2

，
∴點P的坐標為（2x₀-

π

2

，

3

）．
又∵點P在y=2cos（2x+

π

6

）的圖象上，且x₀∈[

π

2

，π]，
∴cos（4x₀-

5π

6

）=

3

2

，

7π

6

≤4x₀-

5π

6

≤

19π

6

，
從而得4x₀-

5π

6

=

11π

6

，或4x₀-

5π

6

=

13π

6

，
解得x₀=

2π

3

或

3π

4

點評：本題考查由三角函數的部分圖象求解析式，涉及三角函數值的運算．